Différents types de filtres Chebyshev avec calculs

Le nom des filtres Chebyshev est appelé après «Pafnufy Chebyshev» parce que ses caractéristiques mathématiques sont dérivées de son nom uniquement. Les filtres Chebyshev ne sont que des filtres analogiques ou numériques. Ces filtres ont un filtre de descente et de type 1 plus raide (plus d'ondulation de la bande passante) ou un filtre de type 2 (ondulation de bande d'arrêt) que Filtres Butterworth . La propriété de ce filtre est qu'il réduit l'erreur entre la caractéristique du filtre réel et idéalisé. Parce que, inhérent à l'ondulation de la bande passante dans ce filtre.

Filtre Chebyshev

Les filtres Chebyshev sont utilisés pour des fréquences distinctes d'une bande à l'autre. Ils ne peuvent pas correspondre aux performances du filtre Windows-sink et conviennent à de nombreuses applications. La principale caractéristique du filtre Chebyshev est sa vitesse, normalement plus rapide que la fenêtre-sinc. Car ces filtres sont réalisés par récursion plutôt que par convolution. La conception des filtres Chebyshev et Windowed-Sinc dépend d'une technique mathématique appelée transformation en Z.

Filtre Chebyshev

Types de filtres Chebyshev

Les filtres Chebyshev sont classés en deux types, à savoir le filtre Chebyshev de type I et le filtre Chebyshev de type II.

Filtres Chebyshev de type I

Ce type de filtre est le type de base de filtre Chebyshev. L'amplitude ou la réponse en gain est une fonction de fréquence angulaire du nième ordre du LPF (filtre passe-bas) est égale à la valeur totale de la fonction de transfert Hn (jw)

Gn (w) = | Hn (jω) | = 1√ (1 + ϵ2Tn2 () ω / ωo)

Où, ε = facteur d'ondulation
ωo = fréquence de coupure
Tn = polynôme de Chebyshev du nième ordre

La bande passante montre les performances équiripple. Dans cette bande, le filtre alterne entre -1 et 1 donc le gain du filtre change entre max à G = 1 et min à G = 1 / √ (1 + ε2). À la fréquence de coupure, le gain a la valeur de 1 / √ (1 + ε2) et reste à échouer dans la bande d'arrêt lorsque la fréquence augmente. Le comportement du filtre est illustré ci-dessous. La fréquence de coupure à -3 dB n'est généralement pas appliquée aux filtres Chebyshev.

Filtre Chebyshev Type-I

L'ordre de ce filtre est similaire au no. de composants réactifs requis pour le filtre Chebyshev utilisant appareils analogiques. L'ondulation en dB est de 20log10 √ (1 + ε2). De sorte que l'amplitude d'une ondulation d'un 3db résulte de ε = 1 Un roll-off encore plus raide peut être trouvé si l'ondulation est autorisée dans la bande d'arrêt, en autorisant des 0 sur l'axe jw dans le plan complexe. Cependant, cet effet en moins de suppression dans la bande d'arrêt. L'effet est appelé filtre Cauer ou elliptique.

Pôles et zéros du filtre Chebyshev de type I

Les pôles et les zéros du filtre Chebyshev de type 1 sont décrits ci-dessous. Les pôles du filtre Chebyshev peuvent être déterminés par le gain du filtre.
-js = cos (θ) & la définition de la trigonométrie du filtre peut s'écrire

Ici, θ peut être résolu par

Où les nombreuses valeurs de la fonction arc cosinus ont été clarifiées en utilisant l'indice numérique m Ensuite, les fonctions des pôles de gain Chebyshev sont
En utilisant les propriétés des fonctions hyperboliques et trigonométriques, cela peut être écrit sous la forme suivante

L'équation ci-dessus produit les pôles du gain G. Pour chaque pôle, il y a le conjugué complexe, et pour chaque paire de conjugués, il y a deux autres négatifs de la paire. Le TF doit être stable, la fonction de transfert (TF) est donnée par

Filtre Chebyshev de type II

Le type II Filtre Chebyshev est également connu sous le nom de filtre inverse, ce type de filtre est moins courant. Parce que ça ne roule pas et qu'il faut divers composants . Il n'a pas d'ondulation dans la bande passante, mais il a équiripple dans la bande d'arrêt. Le gain du filtre Chebyshev de type II est
Dans la bande d'arrêt, le polynôme de Chebyshev échange entre -1 & et 1 de sorte que le gain «G» permute entre zéro et

Filtre Chebyshev de type II

La plus petite fréquence à laquelle ce maximum est atteint est la fréquence de coupure

Pour une atténuation de bande d'arrêt de 5 dB, la valeur de e est de 0,6801 et pour une atténuation de bande d'arrêt de 10 dB, la valeur de e est de 0,3333. La fréquence de coupure est f0 = ω0 / 2π0 et la fréquence 3dB fH est dérivée comme

Pôles et zéros du filtre Chebyshev de type II

Supposons que la fréquence de coupure est égale à 1, les pôles du filtre sont les zéros du dénominateur du gain
Les pôles du gain du filtre de type II sont à l'opposé des pôles du filtre Chebyshev de type I

Ici dans l'équation ci-dessus m = 1, 2,…, n. Les zéros du filtre de type II sont les zéros du numérateur du gain

Les zéros du filtre Chebyshev de type II sont opposés aux zéros du polynôme Chebyshev.
Ici, m = 1,2,3, ……… n

En utilisant un demi-plan gauche, le TF est donné de la fonction de gain et a les zéros similaires qui sont des zéros simples plutôt que doubles.

Ainsi, il s'agit du filtre Chebyshev, des types de filtre Chebyshev, des pôles et des zéros du filtre Chebyshev et du calcul de la fonction de transfert. Nous espérons que vous avez une meilleure compréhension de ce concept, ainsi que des questions concernant ce sujet ou projets électroniques , veuillez donner votre avis en commentant dans la section des commentaires ci-dessous. Voici une question pour vous, quelles sont les applications des filtres Chebyshev?