Calculs d'inductance de condensateur

Les inducteurs peuvent être imaginés comme l'opposé des condensateurs. La principale différence entre un condensateur et une inductance est qu'un condensateur porte un diélectrique protecteur entre ses plaques, ce qui empêche la conduction du courant à ses bornes. Ici, il agit comme un circuit ouvert.

D'autre part, l'inductance d'un inducteur est normalement (mais pas toujours) d'une résistance incroyablement faible ou minimale. Il se comporte essentiellement comme un circuit fermé.

Dualité d'inductance de condensateur

Il existe un terme unique en électronique pour ce type de relation entre deux paramètres d'un circuit ou des parties d'un circuit. Les éléments de ce type de paire sont appelés duels l'un de l'autre . Par exemple, selon la capacité à conduire le courant, un circuit ouvert est le double d'un circuit fermé.

Sur le même principe, un inducteur est le double d'un condensateur. La dualité des inducteurs et des condensateurs est bien plus profonde que la simple capacité naturelle à conduire le courant.

Dans cet article, nous comparons le principe de fonctionnement de l'inductance et du condensateur et évaluons les résultats avec des calculs et des formules.

Malgré le fait que les inducteurs sont normalement rarement vus dans les circuits électroniques, puisqu'aujourd'hui ils sont principalement remplacés par des opamps dans les filtres actifs), les autres parties impliquées dans un circuit semblent porter une certaine quantité d'inductance.

L'inductance propre des bornes d'un condensateur ou d'une résistance devient un gros problème dans les circuits haute fréquence, ce qui explique pourquoi les résistances et condensateurs à montage en surface sans plomb sont si fréquemment utilisés dans de telles applications.

Equations de base des condensateurs

L'équation fondamentale des condensateurs est celle avec laquelle le farad est défini:

C = Q / I [Eq.19]

où C est la capacité en farad, Q est la charge en coulomb, et U est le pd entre les plaques en volts.

Grâce à Eq. 19, on obtient une formule de la forme Q = ∫ I dt + c où c est la charge initiale, si disponible. Après avoir identifié Q, nous sommes en mesure de déterminer U à partir de l'Eq. 19:

U = 1 / C ∫ I dt + c / C [Eq.21]

Une caractéristique importante d'un condensateur peut être comme celle-ci, si un courant périodique lui est appliqué (généralement un courant qui oscille de manière sinusoïdale), la charge du condensateur et la tension à travers celui-ci fluctuent également de manière sinusoïdale.

La courbe de charge ou de tension est une courbe cosinus négative, ou nous pouvons l'imaginer comme une courbe sinusoïdale qui est en retard par rapport à la courbe de courant de Pi / 2 fonctionnement (90 °).

L'équation fondamentale qui définit le henry, l'unité d'inductance, est

L = NΦ / I [Éq.22]

En se référant à une seule bobine, l'auto-inductance dans Henry peut être la relation de fl ux (le fl ux magnétique<1) in weber multiplied by the number of winding N, (because the magnetic flux cuts through each turn), when a unit current passes through it (I = 1 A). An even more handy definition could be extracted from Eq. 22, using Neumann’s equation. This claims that:

U = N (dΦ / dt) [Éq.23]

Ce que cette équation suggère, c'est le fait que la valeur e.m.f. induit dans un inducteur est relatif au taux de changement lié du fl ux.

Plus le fl ux varie rapidement, plus le e.m.f induit est élevé. Par exemple, lorsque le flux sur l'inductance ou la bobine augmente à la vitesse de 2 mWb s^-1, et en supposant que la bobine a VINGT-CINQ tours, alors U = 25x2 = 50V.

Le chemin du e.m.f. est telle qu'elle résiste aux variations de flux telles que décrites par la loi de Lenz.

Cette vérité est souvent soulignée en faisant précéder le côté droit de l'équation d'un signe moins, mais tant que nous croyons que U est le dos e.m.f., le signe pourrait être supprimé.

Différentiels

Le terme dΦ / dt dans l'Eq. 23 indique ce que nous avons appris comme le taux de changement de fl ux. La phrase est appelée le différentiel de Φ par rapport à t, et une branche entière de l'arithmétique est dédiée au travail avec ce type d'expressions. La phrase a la forme d'un seul nombre (dΦ) divisé par une quantité supplémentaire (dt).

Les différentiels sont utilisés pour associer de nombreux ensembles de proportions: dy / dx, par exemple, corèle les variables x et y. Lorsqu'un graphique est tracé à l'aide des valeurs de x sur l'axe horizontal et des valeurs de y sur l'axe vertical, dy / dx indique la pente de la pente, ou gradient, du graphique.

Si U est la tension grille-source du FET, où T est le courant de drain associé, alors dI / dU signifie la quantité avec laquelle I change pour des changements donnés de U. Alternativement, nous pouvons dire, dI / dU est la transconductance. Tout en discutant des inducteurs, dΦ / dt pourrait être le taux de variation du fl ux avec le temps.

Le calcul d'un différentiel peut être considéré comme la procédure inverse d'intégration. Il n'y a pas suffisamment de place dans cet article pour examiner la théorie de la différenciation, néanmoins nous définirons un tableau des grandeurs couramment utilisées avec leurs différentiels.

Différentiels standard

Le tableau ci-dessus fonctionne en utilisant I et t comme facteurs au lieu de la routine x et y. Pour que ses détails soient spécifiquement pertinents pour l'électronique.

A titre d'exemple, en considérant que I = 3t +2, la façon dont je dévie par rapport au temps peut être visualisée dans le graphique de la Fig. 38. Pour trouver le taux de changement de I à tout moment, on estime dI / dt, par se référant au tableau.

Le premier élément de la fonction est 3t ou, pour le formater comme première ligne du tableau, 3t¹. Si n = 1, le différentiel est de 3t^1-1= 3t⁰.

Depuis t⁰= 1, le différentiel est de 3.

La deuxième quantité est 2, qui peut être exprimée en 2t⁰.

Cela change n = 0 et l'amplitude du différentiel est nulle. Le différentiel d'une constante sera toujours nul. En combinant ces deux éléments, nous avons:

dI / dt = 3

Dans cette illustration, le différentiel n'inclut pas t, ce qui signifie que le différentiel ne dépend pas du temps.

En termes simples, la pente ou le gradient de la courbe de la figure 38 est de 3 en continu tout le temps. La figure 39 ci-dessous affiche la courbe pour une fonction différente, I = 4 sin 1,5t.

En référence au tableau, α = 1,5 et b = 0 dans cette fonction. Le tableau montre, dl / dt = 4x1.5cos1.5t = 6cos 1.5t.

Cela nous informe du taux de changement instantané de I. Par exemple, à t = 0,4, dI / dt = 6cos0,6 = 4,95. Cela peut être remarqué sur la figure 39, dans laquelle la courbe pour 6 cos0,6t inclut la valeur 4,95 lorsque t = 0,4.

On peut également observer que la pente de la courbe 4sin1.5t est de 4,95 lorsque t = 0,4, comme le montre la tangente à la courbe en ce point, (par rapport aux différentes échelles sur les deux axes).

Lorsque t = π / 3, un point où le courant est à son niveau le plus élevé et constant, dans ce cas dI / dt = 6cos (1,5xπ / 3): 0, correspondant à un changement de courant nul.

Au contraire, lorsque t = 2π / 3 et que le courant passe au niveau le plus élevé possible du positif au négatif, dI / dt = 6cosπ = -6, nous voyons sa valeur négative la plus élevée, présentant une forte réduction du courant.

Le simple avantage des différentiels est qu'ils nous permettent de déterminer des taux de changement pour des fonctions beaucoup plus complexes par rapport à I = 4sin 1.5t, et sans avoir à tracer les courbes.

Retour aux calculs

En réorganisant les termes de l'Eq 22, nous obtenons:

Φ = (L / N) I [Éq.24]

Où L et N ont des dimensions constantes, mais Φ et I peuvent avoir une valeur par rapport au temps.

Différencier les deux côtés de l'équation par rapport au temps donne:

dΦ / dt = (L / N) (dI / dt) [Eq. 25]

La fusion de cette équation avec l'Eq.23 donne:

U = N (L / N) (dI / dt) = L (dI / dt) [Éq.26]

C'est une autre façon d'exprimer le Henri . On peut dire que, une bobine ayant une auto-inductance de 1 H, un changement de courant de 1 A s^-1génère un retour e.m.f. de 1 V. Étant donné une fonction qui définit comment un courant varie avec le temps, Eq. 26 nous aide à calculer le dos e.m.f. d'un inducteur à tout instant.

Voici quelques exemples.

A) I = 3 (un courant constant de 3 A) dl / dt = 0. Vous ne trouvez aucun changement de courant donc le retour e.m.f. est zéro.

B) I = 2t (un courant de rampe) dI / dt = 2 A s^-1. Avec une bobine portant L = 0,25 H, le dos e.m.f. sera constant à 0,25x2 = 0,5 V.

C) I = 4sin1.5t (le courant sinusoïdal donné dans l'illustration précédente dl / dt = 6cos 1.5t. Étant donné une bobine avec L = 0.1 H, la force contre-électromotrice instantanée est de 0.6cos1.5t. La force contre-électromotrice suit la courbe différentielle de la Fig.39, mais avec une amplitude de 0,6 V plutôt que de 6 A.

Comprendre les «doubles»

Les deux équations suivantes signifient l'équation d'un condensateur et d'une inductance respectivement:

Il nous aide à déterminer le niveau de tension produit à travers le composant par un courant variant dans le temps selon une fonction spécifique.

Evaluons le résultat obtenu par différencier les côtés L et H de l'équation 21 par rapport au temps.

dU / dt = (1 / C) I

Comme nous savons que la différenciation est l'inverse de l'intégration, la différenciation de ∫I dt inverse l'intégration, avec seulement I comme résultat.

Différencier c / C donne zéro et réorganiser les termes produit ce qui suit:

I = C.dU / dt [Eq.27]

Cela nous permet de connaître le sens du courant, qu'il se dirige vers le condensateur ou qu'il en sort, en réponse à une tension variant selon une fonction donnée.

La chose intéressante est que ce qui précède équation de courant de condensateur ressemble à l'équation de tension (26) d'un inducteur, qui présente le capacité, dualité d'inductance.

De même, la différence de courant et de potentiel (pd) ou le taux de variation du courant et de pd peuvent être doubles lorsqu'ils sont appliqués aux condensateurs et aux inductances.

Maintenant, intégrons l'Eq.26 par rapport au temps pour compléter l'équation quatret:

∫ U dt + c = LI

L'intégrale de dI / dt est = I, nous réorganisons les expressions pour obtenir:

I = 1 / L∫ U dt + e / L

Cela ressemble à nouveau à l'Eq.21, prouvant en outre la double nature de la capacité et de l'inductance, ainsi que leur pd et leur courant.

À présent, nous avons un ensemble de quatre équations qui peuvent être utilisées pour résoudre les problèmes liés aux condensateurs et aux inducteurs.

Par exemple, l'Eq.27 peut être appliquée pour résoudre le problème comme celui-ci:

Problème: Une impulsion de tension appliquée sur un 100 uF produit une courbe comme le montre la figure ci-dessous.

Cela peut être défini à l'aide de la fonction par morceaux suivante.

Calculez le courant traversant le condensateur et tracez les graphiques correspondants.

Solution:

Pour la première étape, nous appliquons l'Eq.27

I = C (dU / dt) = 0

Pour le deuxième cas où U peut augmenter avec un taux constant:

I = C (dU / dt) = 3C = 300μA

Cela montre un courant de charge constant.

Pour la troisième étape lorsque U chute de manière exponentielle:

Cela indique le courant s'écoulant du condensateur à une vitesse décroissante exponentielle.

Relation de phase

Dans la figure ci-dessus, un pd alterné est appliqué à un inducteur. Ce pd à tout instant peut être exprimé comme:

Où Uo est la valeur maximale du pd. Si nous analysons le circuit sous la forme d'une boucle et appliquons la loi de tension de Kirchhoff dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons:

Cependant, comme le courant est ici sinusoïdal, les termes de la parenthèse doivent avoir la valeur égale au courant de crête Io, on obtient donc finalement:

Si nous comparons l'Eq.29 et l'Eq.30, nous constatons que le courant I et la tension U ont la même fréquence, et je retarde U de π / 2.

Les courbes résultantes peuvent être des études dans le diagramme suivant:

C

Cela montre la relation contrastée entre le condensateur et l'inducteur. Pour un courant d'inductance, la différence de potentiel est retardée de π / 2, tandis que pour un condensateur, le courant est en avance sur le pd. Ceci démontre encore une fois la double nature des deux composants.