Le mouvement harmonique simple est inventé par le mathématicien français Baron Jean Baptiste Joseph Fourier en 1822. Edwin Armstrong (18 décembre 1890 au 1er février 1954) a observé des oscillations en 1992 dans leurs expériences et Alexander Meissner (14 septembre 1883 au 3 janvier 1958) a inventé oscillateurs en mars 1993. Le terme harmonique est un mot latin. Cet article présente un aperçu de l'oscillateur harmonique qui comprend sa définition, son type et ses applications.
Qu'est-ce que l'oscillateur harmonique?
L'oscillateur harmonique est défini comme un mouvement dans lequel la force est directement proportionnelle à la particule à partir du point d'équilibre et produit une sortie dans une forme d'onde sinusoïdale. La force qui provoque l'harmonique mouvement peut être exprimé mathématiquement par
F = -Kx
Où,
F = force de rappel
K = constante de ressort
X = Distance de l'équilibre
schéma-bloc-d'oscillateur-harmonique
Il y a un point du mouvement harmonique dans lequel le système oscille, et la force qui ramène la masse encore et encore au même point d'où elle commence, la force est appelée force de rétablissement et le point est appelé point d'équilibre ou position moyenne. Cet oscillateur est également connu sous le nom de oscillateur harmonique linéaire . L'énergie coule de l'actif Composants aux composants passifs de l'oscillateur.
Diagramme
Le schéma de principe de l'oscillateur harmonique consiste en un amplificateur et un réseau de rétroaction. L'amplificateur est utilisé pour amplifier les signaux et que les signaux amplifiés passent à travers un réseau de rétroaction et génèrent la sortie. Où Vi est la tension d'entrée, Vo est la tension de sortie et Vf est la tension de retour.
Exemple
Messe sur une source: Le ressort fournit une force de rappel qui accélère la masse et la force de rappel est exprimée comme
F = ma
Où «m» est la masse et a est une accélération.
masse sur un ressort
Le ressort se compose d'une masse (m) et d'une force (F). Lorsque la force tire la masse en un point x = 0 et ne dépend que de x - la position de la masse et la constante du ressort est représentée par une lettre k.
Types d'oscillateur harmonique
Les types de cet oscillateur comprennent principalement les suivants.
Oscillateur harmonique forcé
Lorsque nous appliquons une force externe au mouvement du système, on dit que le mouvement est un oscillateur harmonique forcé.
Oscillateur harmonique amorti
Cet oscillateur est défini comme, lorsque nous appliquons une force externe au système, le mouvement de l'oscillateur diminue et son mouvement est dit être un mouvement harmonique amorti. Il existe trois types d'oscillateurs harmoniques amortis
formes d'onde d'amortissement
Plus amorti
Lorsque le système se déplace lentement vers le point d'équilibre, on dit qu'il s'agit d'un oscillateur harmonique suramorti.
Sous amorti
Lorsque le système se déplace rapidement vers le point d'équilibre, on dit qu'il s'agit d'un oscillateur harmonique suramorti.
Amorti critique
Lorsque le système se déplace le plus rapidement possible sans osciller autour du point d'équilibre, on dit alors qu'il s'agit d'un oscillateur harmonique suramorti.
Quantum
Il est inventé par Max Born, Werner Heisenberg et Wolfgang Pauli à «l'Université de Göttingen». Le mot quantum est le mot latin et la signification de quantum est une petite quantité d'énergie.
Énergie du point zéro
L'énergie du point zéro est également appelée énergie de l'état fondamental. Il est défini lorsque l'énergie de l'état fondamental est toujours supérieure à zéro et ce concept est découvert par Max Planck en Allemagne et la formule développée en 1990.
Énergie moyenne de l'équation d'oscillateur harmonique simple amorti
Il existe deux types d'énergies: l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. La somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est égale à l'énergie totale.
E = K + U ………………. Éq (1)
Où E = énergie totale
K = énergie cinétique
U = énergie potentielle
Où k = k = 1/2 mvdeux………… eq (2)
U = 1/2 kxdeux………… éq (3)
cycle d'oscillation pour les valeurs moyennes
Les valeurs moyennes d'énergie cinétique et potentielle par cycle d'oscillation sont égales à
Où vdeux= vdeux(Àdeux-Xdeux) ……. éq (4)
Remplacer eq (4) dans eq (2) et eq (3) obtiendra
k = 1/2 m [wdeux(Àdeux-Xdeux)]
= 1/2 m [Aw cos (poids + ø0)]deux……. éq (5)
U = 1/2 kxdeux
= 1/2 k [A sin (wt + ø0)]deux……. éq (6)
Remplacer eq (5) et eq (6) dans l'eq (1) obtiendra la valeur totale de l'énergie
E = 1/2 m [wdeux(Àdeux-Xdeux)] + 1/2 kxdeux
= 1/2 m wdeux-1/2 m wdeuxÀdeux+ 1/2 kxdeux
= 1/2 m wdeuxÀdeux+1/2 xdeux(K-mwdeux) ……. éq (7)
Où mwdeux= K , remplacez cette valeur dans l'eq (7)
E = 1/2 K Adeux- 1/2 Kxdeux+ 1/2 xdeux= 1/2 K Adeux
Énergie totale (E) = 1/2 K Adeux
Les énergies moyennes pour une période de temps sont exprimées comme
Àmoy= Umoy= 1/2 (1/2 K Adeux)
Fonction d'onde d'oscillateur harmonique
L'opérateur hamiltonien est exprimé comme la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle et il est exprimé comme
ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)
Où ђ = opérateur hamitonien
T = énergie cinétique
V = énergie potentielle
Pour générer la fonction d'onde, nous devons connaître l'équation de Schrödinger et l'équation est exprimée comme
-đdeux/ 2μ * ddeuxѱυ(Q) / dQdeux+ 1 / 2KQdeuxѱυ(Q) = Eυѱυ(Q) …………. éq (2)
Où Q = Longueur de la coordonnée normale
Μ = masse effective
K = constante de force
Les conditions aux limites de l'équation de Schrödinger sont:
Ѱ (-∞) = ø
Ѱ (+ ∞) = 0
On peut aussi écrire l'eq (2) comme
rédeuxѱυ(Q) / dQdeux+ 2μ / đdeux(Eυ-K / 2 * Qdeux) ѱυ(Q) = 0 ………… eq (3)
Les paramètres utilisés pour résoudre une équation sont
β = ђ / √μk ……… .. éq (4)
rédeux/ dQdeux= 1 / βdeuxrédeux/ dxdeux………… .. eq (5)
Remplacez eq (4) et eq (5) dans eq (3), alors l'équation différentielle de cet oscillateur devient
rédeuxѱυ(Q) / dxdeux+ (2 μbdeuxEυ/ đdeux- Xdeux) ѱυ(x) = 0 ……… .. éq (6)
L'expression générale des séries de puissance est
ΣC¬nx2 …………. éq (7)
Une fonction exponentielle est exprimée comme
exp (-xdeux/ 2) ………… eq (8)
eq (7) est multiplié par eq (8)
ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)
Les polynômes Hermite sont obtenus en utilisant l'équation ci-dessous
ђυ(x) = (-1)υ* exp (xdeux) d / dxυ* exp (-xdeux) …………… .. éq (10)
La constante de normalisation est exprimée comme
Nυ= (1/2υυ! √Π)1/2…………… .eq (11)
Le solution d'oscillateur harmonique simple s'exprime comme
Ѱυ(x) = NυHυ(et) e-x2 / 2……………… eq (12)
Où Nυest la constante de normalisation
H υ est l'Hermite
est -x2 / deuxest le gaussien
Une équation (12) est la fonction d'onde de l'oscillateur harmonique.
Ce tableau montre les polynômes Hermite du premier terme pour les états d'énergie les plus bas
| υ | 0 | 1 | deux | 3 |
Hυ(Y) | 1 | 2 ans | 4 ansdeux-2 | 8 ans3-12 ans |
Les fonctions d'onde du graphique d'oscillateur harmonique simple pour quatre états d'énergie les plus faibles sont indiqués dans les figures ci-dessous.
fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique
Les densités de probabilité de cet oscillateur pour les quatre états d'énergie les plus faibles sont indiquées dans les figures ci-dessous.
densités de probabilité des formes d'onde
Applications
Le soscillateur harmonique impleles applications comprennent principalement les éléments suivants
- Systèmes audio et vidéo
- Radio et autres appareils de communication
- Onduleurs , Alarmes
- Buzzers
- Lumières décoratives
Avantages
Le avantages de l'oscillateur harmonique sommes
- Pas cher
- Génération haute fréquence
- Haute efficacité
- Pas cher
- Portable
- Économique
Exemples
L'exemple de cet oscillateur comprend ce qui suit.
- Instruments de musique
- Pendule simple
- Système de ressort de masse
- Balançoire
- Le mouvement des aiguilles de l'horloge
- Le mouvement des roues de voiture, camion, bus, etc.
C'est un type de mouvement, que nous pouvons observer quotidiennement. Harmonique oscillateur fonction d'onde utilisant Schrodinger et les équations de l'oscillateur harmonique sont dérivées. Voici une question, quel type de mouvement effectué par le saut à l'élastique?
